在测度空间(Χ,φ，μ)中，有一种概念是关于命题P在集合E上的“几乎处处”成立，这意味着命题P在E中不成立的点集合（可能不是可测集）必须包含在一个μ零集中，即测度为零的集合。在完全测度空间中，这意味着命题P不成立的点集合必须是μ零集，但在不完全的测度空间中，两个在μ几乎处处相等的可测函数ƒ和h的可测性并不能直接推断出另一函数的可测性，这仅在完全测度空间中成立。

对于测度空间上的可测函数序列，有两个重要的收敛概念。一是“几乎处处”收敛，即函数序列{ƒn}在E上的点x处的值趋于函数ƒ(x)的集合包含在某个μ零集中。二是“度量收敛”或“依测度收敛”，即对于任何给定的ε>0，存在一个条件⑤，使得序列{ƒn}的偏差在μ下满足特定的界限。这两种收敛在性质上与L测度的情况相似。

在测度空间上，存在着叶戈罗夫定理，它表明：如果可测函数序列{ƒn}在E上几乎处处收敛于可测函数ƒ，并且μ(E)有限，那么对于任意的δ>0，存在一个可测子集Eδ，其测度μ(E\Eδ)小于δ，且在Eδ上，序列{ƒn}一致收敛于ƒ。这与L测度的情况有类似之处。

此外，类似于L测度的处理方式，测度空间上还定义了度量基本序列（依测度基本序列），并且有相应的完备性定理，这些定理进一步扩展了我们对测度空间上函数序列收敛性质的理解。

扩展资料

测度论是研究一般集合上的测度和积分的理论。它是勒贝格测度和勒贝格积分理论的进一步抽象和发展，又称为抽象测度论或抽象积分论，是现代分析数学中重要工具之一。 测度理论是实变函数论的基础。