一、数学期望

数学期望是衡量随机变量取值的平均情况的指标，分为离散型和连续型。离散型随机变量期望由其分布律计算，需级数绝对收敛，连续型随机变量期望由概率密度计算，需积分绝对收敛。数学期望又称为均值，表示为一个实数，反映随机变量取值的总体趋势。

常见离散型随机变量的期望包括0-1分布、二项分布、泊松分布等。常见连续型随机变量的期望包括均匀分布、指数分布、标准正态分布等。

随机变量函数的数学期望可以通过变换原随机变量函数直接求得。数学期望具有线性性质，包括加法、减法、乘以常数等。

二、方差

方差衡量随机变量取值的分散程度，定义为随机变量与数学期望之差的平方的期望。方差的平方根称为标准差。方差描述了随机变量取值远离其期望的程度，值越小表示取值越集中。

方差计算方法有定义法和公式法，离散型和连续型随机变量均有相应公式。方差具有线性性质，包括常数的方差、线性组合的方差等。

重要概率分布的方差包括两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布等。切比雪夫不等式提供了随机变量取值与期望之间距离的不等式约束。

三、协方差及相关系数

协方差衡量两个随机变量之间的相互关系，定义为两个随机变量与其各自期望之差的乘积的期望。相关系数是对协方差进行标准化后的值，其大小表示两个随机变量之间线性关系的紧密程度。当相关系数为零时，表示两个随机变量不相关。

协方差和相关系数具有线性性质，包括常数的协方差、线性组合的协方差、独立随机变量的协方差等。相关系数在二维正态分布中用于描述两个随机变量之间的相关性。

四、矩、协方差矩阵

矩是衡量随机变量及其组合的分布特性，包括原点矩和中心矩。原点矩描述随机变量的分布位置，中心矩描述分布的形状，混合矩描述两个随机变量之间的相互作用。高阶矩在实际应用中较少使用。

协方差矩阵用于描述多维随机变量之间的相关性和变异度。矩阵是对称的非负定矩阵，可用于表示多维随机变量的概率密度。

在实际应用中，矩和协方差矩阵为研究随机变量及其组合的分布特性提供了强大的工具，对理解复杂系统的统计性质至关重要。