无理数是指不能表示为有理数的数，有理数是能表示为两个整数之比的数，因此无理数与有理数是不同的数的集合。无理数在数学中有广泛的应用，如在几何图形中的长度和角度、物理中的波动、振动等。无理数也是数学中的一个重要分支，研究无理数的性质对于数学研究有着重要的意义。

无理数最早由古希腊学者提出，如毕达哥拉斯学派认为一切事物都可以用有理数来表示，但当他发现了一些边长和斜边长之比为无理数的图形之后，他们就否认了无理数的存在。直到公元前5世纪，哲学家泰勒斯、毕达哥拉斯等人才逐渐意识到了无理数的存在和重要性。到了17世纪，欧拉引进了符号i表示负数平方根，并推广了无理数的概念，为无理数的研究提供了更好的工具。

无理数在数学中的应用非常广泛，如在几何学中，无理数用于表示实际问题中的长度和角度，比如勾股定理中的根号；在物理学中，无理数用于描述波动、振动以及动力学中的质量等问题；在金融学中，无理数的随机性和法则性结合，可以用来进行投资和分析。此外，无理数还具有美学价值，如黄金分割、渐进函数等都具有美学上的艺术价值。