圆的直径垂直于通过圆上任意两点所画的弦，并且平分这条弦。这个性质称为垂径定理。

圆周角定理表明，圆周角是圆心角的一半。如果圆周角为θ，则它所对的圆心角为2θ。

圆心角定理指出，圆心角相等的弧也相等。在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也相等。

弦切角定理说明，圆上任意一点处的切线与通过该点的弦所形成的夹角等于圆心角的一半。

四圆定理是指在同一平面内，如果四个圆两两相切，并且不共线，那么这四个圆的圆心构成一个正方形。

圆的面积可以通过半径乘以π来计算，或者通过圆周长乘以半径除以2来得到。

圆心到弦的垂线段称为弦心距，它平分弦，并且弦心距相等的弦所对的圆心角相等。

圆幂定理包括相交弦定理、切割线定理及其推论。这些定理涉及到圆的弦、切线和弧之间的关系。

切线长定理说明，圆的切线与半径垂直，并且切线上的点到圆心的距离等于切线的长度。

平行弦定理指出，在同一圆或等圆中，平行弦所对的弧相等。

圆周角定理补充说明，同弧或等弧所对的圆周角相等，并且半圆所对的圆周角是直角。

圆是轴对称图形，任何经过圆心的直线都是圆的对称轴。

圆内接四边形的对角互补或相等，意味着四边形的对角和为180度或相等。

不在同一直线上的三个点可以确定一个圆。

直径是圆中最长的弦，它同时平分圆。

一条弦将圆分为一个优弧和一个劣弧。

补充性质：

九点共圆定理指出，三角形三边的中点、三条高的垂足、垂心与各顶点连线的中点这九个点共圆。

九点圆的圆心在欧拉线上，且是垂心与外心连线的中点。

九点圆与三角形的内切圆、三个旁切圆都相切。

九点圆是一个垂心组共有的九点圆，因此它共与四个内切圆、十二个旁切圆相切。

九点圆心、重心、垂心、外心四点共线，且满足特定的比例关系。