设,正三角形的边长为a,内接圆半径为R,外接圆的半径为r. 正三角形的面积为S=1/2*a*√3/2a=1/2*r*(a+a+a), r=√3/6a, a^2+(R/2)^2=R^2, R=√3/3a, R:r=(√3/3a):(√3/6a)=2:1. 任意一个三角形的内接圆半径为r,外接圆半径为R 解：设ΔABC的三个顶角分别为A、B、C，内切圆圆心为O，外接圆圆心为P； 推导分三步， 第一步：用余弦定理关注ΔOAP； 第二步：用正弦定理关注ΔOAB； 第三步：证明最终结论。 第一步：用余弦定理关注ΔOAP： ∠OAP＝|∠OAC－∠PAC|， 而由图易知：∠OAC＝A/2，∠PAC＝(∏/2)－B， ∴三角形的外接圆的圆心是其三边中垂线的交点，连接此交点与三顶点的连线， 由此分析其顶角被连线分得的6个角之间一些角的关系，易知： ∠OAP＝|∠OAC－∠PAC| ＝| A/2－((∏/2)－B )| ＝| (∏/2)－((A/2)＋B)| ＝| (∏/2)－(((∏－(B＋C))/2)＋B)| ＝| (B－C)/2| 由余弦定理可知，在ΔOAP中有： cos∠OAP＝(AP＋AO－OP)/(2×AP×AO)——（1） ∵AP＝R、RtΔAOD中AO＝OD/sin(∠OAD/2) ＝r/sin(A/2)、OP=d； ∴将各等量代入等式（1）得： cos| (B－C)/2|＝(R＋(r/sin(A/2))－d)/(2×R×(r/sin(A/2))) 化简上式，得： d＝R－2rR×(cos((B－C)/2)/sin(A/2))＋(r/sin(A/2))——（2） 第二步：用正弦定理关注ΔOAB： 由正弦定理可知，在ΔABC中有： AB/sinC=2R——（3） ∵在RtΔOAE和RtΔOBE中分别有： AE＝OE×cot∠OAE＝r×cot(A/2)， EB＝OE×cot∠OBE＝r×cot(B/2)， 又∵AB＝AE＋EB ∴将各等量代入等式（3）得： ((r×cot(A/2))＋( r×cot(B/2)))/sinC＝2R 由三角函数的一系列公式，来化简上式： r/R＝2×sinC/(cot(A/2)＋cot(B/2)) ＝2×(2×sin(C/2)×cos(C/2))/((cos(A/2)/sin(A/2))＋(cos(B/2)/sin(B/2))) ＝2×(2×sin(C/2)×cos(C/2) ×sin(A/2)×sin(B/2))/(sin(A/2)×cos(B/2)＋cos(A/2)×sin(B/2)) ＝2×(2×sin(A/2)×sin(B/2)×sin(C/2)×cos(C/2))/sin((A＋B)/2) ∵sin((A＋B)/2)＝sin((∏－C)/2)＝sin((∏/2)－(C/2))＝cos(C/2) ∴2×(2×sin(A/2)×sin(B/2)×sin(C/2)×cos(C/2))/sin((A＋B)/2) ＝2×(2×sin(A/2)×sin(B/2)×sin(C/2)×cos(C/2))/cos(C/2) ＝4×sin(A/2)×sin(B/2)×sin(C/2) 即r/R＝4×sin(A/2)×sin(B/2)×sin(C/2)——（4） 第三步：证明最终结论 假设等式（2）d＝R－2rR×(cos((B－C)/2)/sin(A/2))＋(r/sin(A/2))中， －2rR×(cos((B－C)/2)/sin(A/2))＋(r/sin(A/2))＝－2rR成立， 由三角函数的一系列公式，来化简上式： r/R＝2×sin(A/2)×(cos((B－C)/2)－sin(A/2)) ＝2×sin(A/2)×(cos((B－C)/2)－sin((∏－(B＋C))/2)) ＝2×sin(A/2)×(cos((B－C)/2)－cos((B＋C)/2)) 由和差化积公式，可知 ＝2×sin(A/2)×(－2)×sin(B/2)×sin(－C/2) ＝4×sin(A/2)×sin(B/2)×sin(C/2) 由等式（4）可知－2rR×(cos((B－C)/2)/sin(A/2))＋(r/sin(A/2))＝－2rR成立， 于是d＝R－2rR×(cos((B－C)/2)/sin(A/2))＋(r/sin(A/2))＝R－2rR 即d＝R－2rR，则d＝√(R－2rR) 于是得到最终的结论，即三角形欧拉公式的内容为： 任意三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，两圆圆心距为d，则有d＝R－2rR

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