本文主要探讨了函数空间相关结论，特别是调和分析中的开集函数和子集函数。这部分是学习现代偏微分方程理论的基础。

首先，我们介绍了连续可微函数空间及其向异性，定义了 [公式] 阶连续可微函数空间。如果 [公式] 是 [公式] 中有界开集，记[公式]，则此空间范数由直到 [公式] 阶的偏导数最大值构成。若 [公式] 为 [公式] 中开集，则此空间是一个 Banach 空间。

接着，我们研究了 Arzelà–Ascoli 定理，这是在有界开集内，满足一定条件的函数序列集合为列紧集的关键定理。此外，我们介绍了函数的光滑化，即通过局部光滑化函数，使其在特定区域内的性质得到改善。

然后，我们转向 Hölder 空间，这是对连续可微函数空间的进一步扩展，其中函数的导数具有一定的 Hölder 连续性。我们定义了 [公式] 阶 [公式] 次 Hölder 空间，并讨论了插值不等式和包含关系。

Sobolev 空间则是对 Hölder 空间的替代，它通过弱导数的积分来刻画函数的性质。我们定义了 [公式] 阶 [公式] 次 Sobolev 空间，并探讨了 Sobolev 空间的稠密性、延拓定理和迹算子。此外，我们还引入了 Poincaré 不等式、插值不等式、Sobolev 不等式与 Morrey 不等式。

接着，我们讨论了嵌入定理，它描述了 Sobolev 空间之间的包含关系。在差商部分，我们引入了差商的概念，用于验证弱导数的存在。最后，我们引入了 Hardy 空间和 BMO 空间，分别作为 [formula] 的稍小和稍大空间。

为了扩展理论，我们引入了抽象函数空间，它取值于实 Banach 空间。我们定义了抽象 L^p 空间、抽象连续函数空间和抽象 Sobolev 空间，并探讨了它们的性质。