法国科学家J.-B.-J.傅里叶因工业对金属处理的需求，专注于热流动的研究，他的成果在《热的解析理论》一书中得以体现。他提出了一个重要的思想，即任何周期函数都可以通过三角基来表示，尽管当时缺乏严格的证明，但这一思想对近代数学和物理工程领域产生了深远影响，奠定了傅里叶分析的基础。

所谓的三角级数，是由无穷个三角函数系列{cos nx, sin nx}（n=0,1,2,...）构成，其中系数αn和bn与变量x无关。如果级数对于所有x都收敛，其和被记为ƒ(x)，它便成为一个具有周期2π的周期函数。傅里叶的贡献在于，他提出通过将ƒ(x)乘以cos nx或sin nx并积分，可以得到一组傅里叶系数，即公式(3)。然而，为了确保这种操作的正确性，必须对级数的收敛性有特定要求，如一致收敛。

傅里叶假设，通过公式(3)计算出的三角级数能够准确地表示给定的周期函数ƒ(x)，这个级数被称为ƒ的傅里叶级数，而(3)则是计算这些系数的方法。傅里叶的这一思想可以进一步推广到任何区间上的正交函数系，特别地，当函数ƒ在[0,2π]上使用{n=0,±1,±2,...}作为正交函数系时，得到的傅里叶级数被称为复形式的傅里叶级数。

扩展资料

群上调和分析又称群上傅里叶分析、抽象调和分析。它是古典调和分析（即傅里叶级数与傅里叶积分理论）的统一与推广。它的研究对象是拓扑群上的函数或测度以及由它们构成的空间或代数。群上调和分析可以说是一门既具应用价值（正如它对概率论、数论与微分方程等所起的作用所说明的）又具理论意义的综合性学科。