问题1：

首先要明确邻域的概念。

如果一个区间 (a,b) 或者 [a,b] 是 x = 0 的邻域，意思是 x = 0 属于区间内部（不包括边界）。

比如：闭区间 [a,b] 的边界是 a 和 b，那么 [a,b] 的内部就是 (a,b)，所以 [a,b] 是 x = 0 的邻域就要求 (a,b) 包含 x = 0。

举个例子：[0,1] 的内部是 (0,1)，不包括 x = 0 这个点，所以 [0,1] 不是 x = 0 的邻域。

[-100,99) 的内部是 (-100,99)，包含 x = 0 这个点，所以 [-100,99) 是 x = 0 的邻域。

所以，邻域总是包含该点的。邻域内 n 阶连续或可导，那么该点就 n 阶连续或可导。

但反过来不行，举个反例（3阶太麻烦了，不容易看清，举个1阶的反例）：

问题2－问题5可以合起来回答。

下面这些条件，一个比一个强，也就是严格的依次增强：

f(x) 连续（即 0 阶导数连续）；

f(x) 可导（即 1 阶可导）；

f(x) 1 阶导函数连续；

f(x) 2 阶可导；

f(x) 2 阶导函数连续；

f(x) 3 阶可导；

f(x) 3 阶导函数连续；

……

f(x) n 阶可导；

f(x) n 阶导函数连续；

f(x) n+1 阶可导；

f(x) n+1 阶导函数连续；

……

满足后面的条件时，一定可以推出前面的条件；

但如果只有前面的条件满足，那么都会有反例，使得后面的条件不满足。

依次回答第2－5个问题：

第2问：3 阶连续的导函数，就是 3 阶导函数连续。

第3问：对的，若 3 阶导函数连续，就能推出 2 阶、1 阶导函数连续。

第4问：3 阶可导，可推出 2 阶、1 阶、0 阶导函数连续，但不能推出 3 阶导函数连续。

一般来讲，可导必连续指的是：若 n+1 阶可导，必有 n 阶导函数连续。

第5问：若 3 阶导函数连续：

如果仅是在 x = 0 点的 3 阶导函数连续，那么只能推出在 x = 0 点的 3 阶可导，不能推出在 x = 0 的邻域内可导；

如果是在某个包含 x = 0 的邻域 (a,b) 内，3 阶导函数连续，那么就能推出在 x = 0 的相应的邻域内 3 阶可导。