教师资格证若不慎丢失，是可以申请补办的。根据国家教育部的相关规定，一旦发现证书遗失，持证者应立即向原发证机关提出补发申请。原发证机关会对持证人的个人信息进行核实，确认无误后，将进行补发。

具体补办流程如下：

首先，持证人需要到原认定单位查验个人档案，并复印《教师资格认定申请表》，并在复印件上加盖档案保管单位的公章。这一步骤是为了证明持证人的身份和资格认定情况。

其次，持证人需携带相关材料，如身份证明、档案复印件等，前往原发证机关提交补办申请。机关会对提交的材料进行审核，确保信息的真实性和准确性。

最后，审核通过后，机关会按照原证书样式重新制作一份，持证人需要按要求支付一定的工本费。工本费的具体数额可能会根据地区和证书类型有所不同。

在整个补办过程中，持证人需要保持耐心，按照步骤逐一完成。这不仅是为了确保证书补办的顺利进行，也是为了维护自身的合法权益。一旦证书补办成功，持证人可以正常使用证书，继续从事教育工作。

总之，教师资格证丢失后，持证人应尽快按照上述流程申请补办，以避免因证书丢失而带来的不便。