常州民办初中有：

1. 常州市钟楼区外国语学校

2. 常州高新区高新初级中学

3. 常州武实瑞德国际学校初中部

4. 常州市新北实验中学

详细解释：

常州市钟楼区外国语学校：这所学校以其优质的外语教学为特色，注重培养学生的国际视野和跨文化交流能力。学校拥有一流的师资力量和现代化的教学设施，为学生提供良好的学习环境。

常州高新区高新初级中学：这所学校是高新区内的一所知名民办初中，以其严谨的学风和高标准的教学质量赢得了家长和学生的信赖。学校注重综合素质教育，为学生提供了丰富的课外活动和学术竞赛机会。

常州武实瑞德国际学校初中部：作为一所国际学校，该校初中部不仅注重学生的学术成绩，更重视培养学生的创新能力和国际竞争力。学校采用国际化的教学方法和课程，为学生将来的出国留学或国际交流打下坚实的基础。

常州市新北实验中学：这所学校在新北区享有较高的声誉，以其优秀的教师队伍和科学化、系统化的教学方法为特点。学校注重学生的全面发展，不仅关注学生的学术表现，还重视体育、艺术等综合素质的培养。以上这些民办初中在常州市内都具有一定的影响力，各有其特色和优势，为常州的学生提供了多样化的教育选择。