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醉客天涯之异方差

异方差性及其检验

I 概念

对于多元线性回归模型

同方差性假设为 如果出现

即对于不同的样本点，随机干扰项的方差不再是常数，而是互不相同，不具有等同的分散程度，则认为出现了异方差（Heteroskedasticity ） II 类型

同方差性假定是指，回归模型中不可观察的随机误差项i u 以解释变量X 为条件的方差是一个常数，因此每个i u 的条件方差不随X 的变化而变化，即有

2()i i f X σ=≠常数

在异方差的情况下，总体中的随机误差项i u 的方差 2

i σ不再是常数，

通常它随解释变量值的变化而变化，即

异方差一般可归结为三种类型：

01122 1,2,

,i i i k ki i Y X X X i n ββββμ=+++

++=2(), 1,2,...,i Var i n μσ==2(), 1,2,...,i i Var i n

μσ==2()

i i f X σ=

异方差类型图：

III来源

（1）截面数据（不同样本点除解释变量外其他影响差异大）

（2）时间序列（规模差异）

（3）分组数据、异常值等

（4）模型函数形式设置不正确和数据变形不正确

（5）边错边改学习模型

IV影响

计量经济学模型一旦出现异方差，如果仍然用普通最小二乘法估计模型参数，会产生一系列不良后果。

（1）参数估计量非有效

（2）OLS估计的随机干扰项的方差不再是无偏的

（3）基于OLS估计的各种统计检验非有效

（4）模型的预测失效

V检验

异方差性，即相对于不同的样本点，也就是相对于不同的解释变量观测值，随机干扰项具有不同的方差，那么检验异方差性，也就是检验随机干扰项的方差与解释变量观测值之间的相关性。

一般检验方法如下：

（1）图示检验法

（2）帕克(Park)检验与戈里瑟(Gleiser)检验

（3）G-Q（Goldfeld-Quandt）检验

（4）F检验

（5）拉格朗日乘子检验

（6）怀特检验

（具体步骤随后介绍）

VI修正方法

加权最小二乘法

定义：加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用OLS法估计其参数。

基本思想：在采用OLS方法时，对较小的残差平方2ˆ

e赋予较大的权

i

重，对较大的2ˆ

e赋予较小的权重，以对残差提供的信息的重要程度

i

作一番修正，提高参数估计的精确程度。

不同形式的异方差要求用不同的加权方法来处理：

（一） 异方差为已知的解释变量的某一函数形式时的加权最小二乘

估计

（二）异方差形式未知时的估计—可行的加权最小二乘法

一般情况下，异方差形式是未知的，往往直接运用模型估计后的残差项来确定权重，对模型进行修正，即权重为:

i

i e 1w =

检验方法总结

1.图示检验法

2．Goldfeld - Quandt 检验法

基本步骤

（1）将解释变量排序，从中间去掉/4c n =个观测值

（2）分成两个部分，利用样本1 和样本2 分别建立回归模型 （3）根据回归求出各自残差平方和1RSS 和2RSS （4）在同方差假定下，构造F 统计量：

22

11

//RSS v F RSS v =

与21(,)F v v 进行比较

21(,)F F v v ≥，拒绝同方差假设 21(,)F F v v ≤，接受原假设

适用范围：大样本，递增或递减型异方差 注意：（1）该检验的功效取决于c 值，c 值越大，则大小方差的差异越大，检验功效越好

（2）两个回归所用的观测值的个数是否相等并不重要，因为可以通过公式改变自由度和统计量的计算公式来调整

（3）当模型中包含多个解释变量时，应对每个可能引起方差的解释变量都进行检验

3.Park 或Glesjser 检验

基本步骤：

（1） 对原模型进行OLS 回归，得到残差i e

（2） 以i e 或2i e 为解释变量，以原模型中的某一解释变量为解释

变量，建立两者之间的回归方程：

2()i ji i e f X ε==或者 ()i ji i e f X ε=+

（3） 选择j X 的不同函数形式，对方程进行估计并进行显著性检验。

若存在某种函数形式使方程显著成立，则说明原模型中存在异方差

适用范围：各种类型异方差检验 注意：（1）由于方差形式未知，因此需要进行各种测试

（2）该方法不仅检验出了异方差是否存在，同时给出异方差具体形式

4.White检验

基本步骤：

（1）对原模型进行OLS回归，得到残差

e

i

（2）以2

e为被解释变量，以各种解释变量、个解释变量的平方项、

i

解释变量之间两两交叉项为解释变量建立辅助回归方程，并

估计

（3）根据辅助回归方程估计结果构造并计算统计量2

nR，它服从2

分布（自由度为辅助回归式中解释变量个数）

（4）根据临界值判断，若大于临界值，拒绝同方差假定；小于临界值，则接受同方差假定

适用范围：各种类型异方差检验

注意：（1）辅助回归中可引入解释变量的更高次幂

（2）在多元回归中，由于解释变量个数太多，可去掉辅助回归式中解释变量间的交叉项

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异方差性及其检验

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醉客天涯之异方差

异方差性及其检验

I 概念

对于多元线性回归模型

同方差性假设为 如果出现

即对于不同的样本点，随机干扰项的方差不再是常数，而是互不相同，不具有等同的分散程度，则认为出现了异方差（Heteroskedasticity ） II 类型

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同方差性假定是指，回归模型中不可观察的随机误差项i u 以解释变量X 为条件的方差是一个常数，因此每个i u 的条件方差不随X 的变化而变化，即有

2()i i f X σ=≠常数

在异方差的情况下，总体中的随机误差项i u 的方差 2

i σ不再是常数，

通常它随解释变量值的变化而变化，即

异方差一般可归结为三种类型：