正n边形的面积公式为：$S=\frac{1}{4}n\tan\frac{\pi}{n}\timesa^2$，其中$n$表示正多边形的边数，$a$表示正多边形的边长。

下面将详细介绍如何推导这个公式，以及应用注意事项。

一、如何推导出正n边形的面积公式

1.将正n边形分成n个等腰三角形。由对称性可知，每个等腰三角形底角为$\frac{2\pi}{n}$。

2.将等腰三角形分成两个直角三角形，利用正切函数可以得到每个直角三角形的高等于$\frac{a}{2}\tan\frac{\pi}{n}$。

3.将所有直角三角形的高加起来，得到正n边形的面积公式为$S=\frac{1}{2}na\times\frac{a}{2}\tan\frac{\pi}{n}$，化简可得到$S=\frac{1}{4}n\tan\frac{\pi}{n}\timesa^2$。

二、应用注意事项

1.使用正n边形的面积公式时，需要确定正多边形的边长$a$和边数$n$。

2.在实际应用中，经常需要根据已知的面积或周长问题反推出$a$或$n$的值。

3.正多边形的面积公式是解决计算题的重要方法，学生需掌握熟练运用。同时需要注意简单形状面积公式的掌握，它是计算更为复杂图形面积的基础。

4.在计算正多边形的面积时，需要注意所使用的角度单位以及函数角度的定义域和值域。

5.正多边形是常见的几何图形，它们经常出现在物理、工程等领域中，需要熟练掌握它们的特点和计算方法。

6.在学习正多边形的面积公式时，也可以了解一些其他重要的公式，如正n边形内角和公式$S_n=(n-2)\pi$、正n边形外角和公式$\alpha=\frac{360^\circ}{n}$等。

7.最后，需要注意练习与实际应用的结合，从多个角度来巩固应用知识，以便更好地解决问题。