（1）证明：连接AD，在PA边上截取PC=EA，连接DE

因为角ACB=90度

CA=CB

所以三角形ACB是等腰直角三角形

因为D是AB的中点

所以CD是等腰直角三角形ACB的中线，垂线，角平分线

所以CD=AD=1/2AB

角ADC=90度

角ACD=角BCD=90度

角ACD=角BCD=1/2角ACB=45度

角CAB=角CBA=45度

因为角APC+角CAP+角ACD+角DCP=180度

角APC=90度

所以角DCP=45-角CAP

因为角DAE=角CAB-角CAP=45-角CAP

所以角DCP=角DAE

所以三角形DCP全等三角形DAE（SAS）

所以角CDP=角ADE

DE=DP

因为角ADC=角ADE+角CDE=90度

角PDE=角CDE+角CDP=90度

所以角PDE=90度

所以三角形PDE是等腰直角三角形

所以PE^2=PD^2+DE^2=2PD^2

所以PE=根号2PD

因为PA=AE+PE

所以PA=PC+根号2PD

所以PA-PC=根号PD

(2)PA+PC=根号2PD

证明：连接CD,分别过点D作DE垂直PC于E ,DF垂直PA交PA的延长线于F

所以角DEP=角DEC=90度

角DFA=角DFP=90度

所以三角形DEP和三角形DFP是直角三角形

角DEC=角DFA=90度

因为角APC+角PAD+角ADC+角PCD=180度

角APC=90度

角ADC=90度（已证）

所以角PAD+角PCD=180度

因为角PAD+角DAF=180度

所以角PCD=角DAF

因为AD=CD（已证）

所以三角形ADF全等三角形CDE（AAS)

所以AF=CE

DF=DE

因为PD=PD

所以直角三角形DEP全等直角三角形DFP（HL)

所以PE=PF

角DPF=角DPE

因为角APC=角DPF+角DPE=90度

所以角DPE=45度

因为角DPE+角DEP+角PDE=180度

所以角PDE=45度

所以角DPE=角PDE=45度

所以PE=DE

所以三角形DEP是等腰直角三角形

所以PD^2=PE^2+DE^2

所以PE=根号2倍PD、2

因为PE=PC-CE

PF=PA+AF

所以PC+PA=2PE

所以PA+PC=根号PD

(3)解：过点P作PG垂直BC交BC的延长线于G，过点D作DE垂直PC于E

所以角G=90度

角PED=角PEC=90度

所以三角形PGC和三角形PGB是直角三角形 ，三角形DEP和三角形DEC是直角三角形

所以PC^2=PG^2+CG^2

PB^2=PG^2+BG^2

PD^2=PE^2+DE^2

CD^2=DE^2+CE^2

因为PD=7倍根号2

DE=PE（已证）

所以PE=DE=7

因为AB=10倍根号2

CD=1/2AB（已证）

所以CE=1

因为PC=PE+CE=7+1=8

因为PA+PC=根号2倍PD（已证）

所以PA=6

因为三角形ACB是等腰直角三角形（已证）

所以AB^2=CA^2+CB^2

CA=CB

所以CA=CB=10

因为角ACB=90度

所以角G=角ACG=90度

所以AC平行PG

所以角GPC=角PCA

因为角APC=90度

所以角APC=角G=90度

所以三角形APC相似三角形CGP (AA)

所以PC/PG=PA/CG=PC/CA

所以PG=24/5

CG=32/5

因为BG=CB+CG=10+(32/5)=82/5

所以PB=10倍根号3