分析：

1）设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中点M(xo,yo)

则有x1+x2=2xo,y1+y2=2yo

对方程y=x^2+1求导y'=2x

则有k1=2x1,k2=2x2

可设两切线方程为

AP:y=2x1(x-x1)+y1......(1)

AQ:y=2x2(x-x2)+y2......(2)

又y1=x1^2+1......(3)

　　　　y2=x2^2+1......(4)

联立4式易解得交点A坐标

xA=(x1+x2)/2=xo=a

yA=x1x2+1=0

得到x1x2=-1

那么k1*k2=4x1x2=-4（得证）

2）由(3)(4)可得PQ斜率（一定存在）

k(PQ)=(y1-y2)/(x1-x2)=x1+x2=2xo=2a

则PQ方程可设为

y=2xo(x-xo)+yo=2xox-2xo^2+yo......(5)

又2yo=y1+y2

=x1^2+x2^2+2

=(x1+x2)^2-2x1x2+2

=4xo^2+4

有yo=2xo^2+2

则(5)可写为

y=2xox+2或y=2ax+2

易知直线PQ过定点N(0,2).

3）A(a,0)到直线PQ:2ax-y+2=0的距离

d=2|a^2+1|/sqrt(1+4a^2)

令1/(a^2+1)=t,0<t<=1

并记f(t)=S/PQ=1/2*|d|*|PQ|/|PQ|

=(a^2+1)/sqrt(1+4a^2)

=1/sqrt[4/(a^2+1)-3/(a^2+1)^2]

=1/sqrt(4t-3t^2)=1/sqrt[-3(t-2/3)^2+4/3]

可知当t=2/3时f(t)取得最小值sqrt(3)/2,此时a^2=1/2.

注意到

y1y2=(x1^2+1)(x2^2+1)

=(x1x2)^2+(x1+x2)^2-2x1x2+1

=1+4a^2+2+1

=4a^2+4

则向量AP.AQ=(x1-a,y1)(x2-a,y2)

=x1x2-a(x1+x2)+a^2+y1y2

=-1-2a^2+a^2+4a^2+4

=3a^2+3

=9/2

评注：本题将切线求法,动点、定点问题,点差法,点到直线距离,函数最值问题融为一体,是一道不可多得的好题,请楼主大人笑纳!