双曲几何是指在双曲空间上的几何学研究。双曲空间具有单连通、曲率恒为-1的特征。此空间可以通过圆盘模型或上半平面模型具体化，度量表达式得以写出。从代数角度看，双曲空间是李群SO(n,1)除以极大紧子群SO(n)，确保了每个点和方向的平等性。

双曲空间具有众多反直觉的特性。例如，在双曲平面上，半径为r的圆盘面积和半径为r的圆周长度均呈指数增长，与欧氏平面上的平方和线性增长形成鲜明对比。双曲平面上的测地三角形，其围成面积等于圆周率减去内角和，最大面积不超过圆周率。

在双曲空间中，如若家北10000米有火车站A，东10000米有火车站B，而铁轨最短路径连接A、B，这条铁轨与家的距离将不到1米。这揭示了双曲空间内路径与距离的独特性质。

Gromov将双曲空间的上述性质推广到更一般的度量空间，定义为Gromov双曲空间，由此孕育了几何群论这一分支学科。