函数f（x）＝√x按（x－4）的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式：

√x=2+1/4(x-4)-1/2^6(x-4)^2+1/2^9(x-4)^3-5/2^7(4+θx)^(-7/2)(x-4)^4。

过程如下：

f(x)=x^(1/2) f(4)=2

f'(x)=1/2 x^(-1/2) f'(4)=1/4

f''(x)=-1/2^2 x^(-3/2) f''(4)=-1/2^5

f'''(x)=3/2^3 x^(-5/2) f'''(4)=3/2^8

f''''(x)=-3*5/2^4 x^(-7/2)

泰勒公式的注意事项：

泰勒展开，或者说麦克劳林公式，并不是唯一的，因为任何在对应阶求导后能够消失并只留下导数值的函数，都可以作为泰勒展开的备胎。

可惜的是，幂函数与阶乘的组合，是我们已知的唯一具有上述性质的函数，因此，这种唯一性决定了泰勒展开能够且仅能够由幂函数表示。