随机样本的性质

定义：从总体中抽取的随机变量相互独立且有相同的边缘密度（质量）函数，称为总体的随机样本或独立同分布随机变量。

在统计学中，随机样本从给定分布的总体中抽取，联合概率密度函数表示不同样本值下的行为。注意抽样模型通常基于无限总体，有限总体的无放回抽样称为简单随机抽样。

随机样本的统计量描述样本特征，例如均值、方差等。下面三个统计量常见于实际应用。

定理：考察统计量期望值有助于理解抽样分布。若函数可导，则统计量和总体参数之间存在联系。

引理：随机样本取自总体，函数存在时，统计量期望值等于总体参数。

定理：随机样本取自总体，若总体期望值为μ，方差为σ²，则统计量为无偏估计。

随机变量和的抽样分布可借助变量替换法和卷积公式求解。例如，Cauchy分布和指数分布族的随机变量和的抽样分布较为简单。

正态分布下，样本方差和样本均值具有特定性质。样本均值依概率收敛于总体均值，样本方差依概率收敛于总体方差，其极限分布为标准正态分布。样本量增大时，样本均值趋近于总体均值。

对于有限样本，样本量趋向无穷时，存在依概率、殆必收敛和依分布收敛等不同类型的收敛。弱大数定律描述样本均值依概率收敛于总体均值；强大数定律描述样本均值殆必收敛于总体均值。

依分布收敛定义为累计分布函数的收敛。中心极限定理表明，当样本量足够大时，样本均值的分布近似为正态分布。

生成随机样本的方法包括直接法和间接法。直接法适用于通过初等函数变换均匀分布生成所需分布的随机变量。间接法则通过变换概率积分函数生成随机变量。