依照（1.18）对应变能（1.6）、（1.7）和（1.8）进行微分，得到单斜、正交和横向各向同性介质的弹性矩阵。因此，我们得到：
（公式）
（公式）
和
（公式）
（公式）
分别意味着13、9和5个独立的弹性常数。在单斜情况下，对称平面是（公式）平面。绕（公式）轴旋转一个角度（公式）——（公式），则可以消去（公式），这样介质就可以用12个弹性常数来描述。各向同性的情况是从横向各向同性的情况得来的，其中（公式），（公式），和（公式），用拉梅常数表示。上面提及的材料对称性已经足以描述不同尺度下绝大多数的地质系统。例如，矩阵（1.39）可以表示成层性良好的介质（见1.5节）；矩阵（1.38）可以表示两组相互呈（公式）夹角的裂隙，或者细层介质中的一组垂直裂隙；而矩阵（1.37）可以表示两组夹角在（公式）和（公式）之间的裂隙（Winterstein，1990[1]）。
我们根据方程（1.33）考虑横向各向同性介质的存在条件。第一个条件意味着（公式）；二阶行列式意味着（公式）；相关三阶行列式意味着（公式）。所有这些条件可以合并为：
（公式）
在各向同性介质中，表达式（1.40）退化为：
（公式）
其中这些刚度是矩阵[公式] 的特征值，第二个特征值的重数（multiplicity）为5。
将适用于非均匀介质中波传播数值模拟的特定对称性的运动方程显式地表达出来是有意义的。质点速度/应力公式被广泛用于这一目的。例如，考虑具有单斜对称性的介质的情况。由式(1.34)和式(1.37)可得到以下表达式：
质点速度：
（公式）
（公式）
（公式）
（公式）
应力：
（公式）
（公式）
（公式）
（公式）
（公式）
（公式）
（公式）
其中质点-速度矢量为：
（公式）
单斜介质的对称平面
在[公式]平面 [公式] ，我们确定两组非耦合的微分方程：
（公式）
和
（公式）
第一组方程描述平面内质点运动，第二个集合描述跨平面质点运动，即纯剪切波的传播。利用适当的弹性常数，(1.45)式和(1.46)式在正交介质的三个对称平面上，以及在横向各向同性介质的每个点上，关于[公式] 轴方位角对称而成立。这种非耦合性意味着在镜像对称的平面上存在一个跨平面剪切波(Helbig,1994,p.142[2])。
式(1.42)和式(1.43)可以重新表述为矩阵方程：
（公式）
其中：
（公式）
是未知场的[公式] 列矩阵。
（公式）
和[公式] 是 [公式] 微分算子矩阵。方程（1.47）的形式解为：
（公式）
其中[公式] 是初始条件。方程(1.50)的数值解需要对所谓的进化算子 [公式]进行多项式展开，展开式的幂次为 [公式] 。
区分材料的主轴和笛卡尔轴是很重要的。主轴——在晶体学中称为晶体轴——是固有轴，它定义了介质的对称性。例如，为了得到应变能(1.7)，我们选择了笛卡尔坐标轴，使其与正交介质的三个相互正交的对称平面所定义的三个主轴重合。笛卡尔轴可以是相对于主轴的任意方向。因此，有必要分析如何将弹性矩阵的形式转化为其他坐标系中的形式。
位移矢量以及应变和应力张量从一个坐标系统[公式] 转换到另一个系统 [公式] ：
（公式）
其中
（公式）
是正交变换矩阵。正交性意味着[公式] ，且 [公式] ；对于旋转 [公式] ，对于反射 [公式] 。例如，绕 [公式] 轴顺时针旋转一个角度 [公式] 需要 [公式] 和 [公式] 。变换(1.51)提供了各自物理量的张量特征——第一行用于位移矢量情况下，第二行用于应变张量和应力张量情况下。
将应力分量转换为缩写符号后，必须对式(1.51)中的每个分量分别进行分析。利用应力张量的对称性，我们得到：
（公式）
其中
（公式）
(Auld, 1990a, p. 74[3])。由于 [公式] 的 [公式] 因数（见方程（1.3）），应变分量的变换矩阵与 [公式] 不同。我们有：
（公式）
其中
（公式）
(Auld, 1990a, p. 75[3])。矩阵 [公式] 和 [公式] 被称为邦德矩阵（Bond matrices），因发明了一种方法获得这些矩阵的W.L.Bond而得名。
现在我们来求弹性张量从一个系统到另一个系统的变换定律。由式(1.31)、(1.53)、(1.55)可知：
（公式）
由于(1.52)中的矩阵[公式] 是正交的，因此通过对式(1.56)中的所有下标进行转置，可以得到矩阵 [公式] 。结果仅仅是 [公式] ，于是（1.57）变为：
（公式）
刚度矩阵的变换
在现行地震术语中，横向各向同性介质是指以弹性矩阵(1.39)表示的介质，其对称轴沿垂直方向，即[公式] 轴。通过对坐标系进行适当的旋转，介质可以变为方位各向异性（azimuthally anisotropic）的（如Thomsen,1988[4]）。一个例子是，一个横向各向同性介质的对称轴是水平的，与 [公式] 轴成一个角 [公式] 。为得到这个介质，我们绕 [公式] 轴进行一个弧度为 [公式] 的顺时针旋转，随后绕新 [公式] 轴进行一个角度为 [公式] 的逆时针旋转。相应的旋转矩阵由下式给出：
（公式）
对应的邦德矩阵为：
（公式）
使用(1.58)，我们注意到新系统中的弹性常数为：
（公式）
（公式）
（公式）
其他分量都等于零。
