A的秩小于n-1时，A*的秩为0，A的秩等于n-1时，A*的秩为1。

（1）当r(A)=n时，|A|≠0,所以|A*|≠0，所以r(A*)=n；

（2) 当r(A)=n-1时，|A|=0，但是矩阵A中至少存在一个n-1阶子 式不为0（秩的定义），所以r(A*)大于等于1（A*的定义）；为了证明r(A*)=1，下面证明r(A*)小于等于1。

定义

参见：子式和余子式、余因子矩阵和转置矩阵

设R是一个交换环，A是一个以R中元素为系数的n×n的矩阵。A的伴随矩阵可按如下步骤定义：

定义：A关于第i行第j列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(n− 1)×(n− 1)矩阵的行列式。

定义：A的余子矩阵是一个n×n的矩阵C，使得其第i行第j列的元素是A关于第i行第j列的代数余子式。