矩阵特征值与对角化之间存在密切关系。通常，如果矩阵的特征值互不相等，那么这个矩阵可以进行对角化。这意味着，存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP为对角矩阵，其中对角线上的元素即为原矩阵A的特征值。这一性质对于简化矩阵运算、理解线性变换本质具有重要意义。

具体来说，矩阵可对角化的一个关键条件是其极小多项式没有重根。极小多项式指的是矩阵的特征多项式中最小次数的不可约多项式。如果矩阵的极小多项式有重根，即存在特征值使得矩阵在这个特征值下的最小多项式次数大于一，那么矩阵无法被完全对角化，仅能进行部分对角化。

在给出的例子中，矩阵A的极小多项式是x(x-1)的因子，这表明A存在特征值1和0。由于这些特征值互不相等，矩阵A可以对角化。特征值1的个数等于矩阵A的秩，这意味着矩阵A在进行对角化后，其对角矩阵的非零特征值的个数就是矩阵A的秩。

通过矩阵的对角化，我们能够直观地观察到线性变换在不同基下的表现，从而更好地理解变换的性质，如对角化后的矩阵更容易进行特征值分解、特征向量分析等操作。此外，对角化在计算高次幂、求逆矩阵、解决线性方程组等问题中也发挥着重要作用。

综上所述，矩阵特征值的互异性是其可对角化的一个必要条件。理解这一点对于深入研究线性代数及其应用至关重要。