矩阵的秩的定义是：若存在K阶子式不为0，对于任意K+1阶子式皆为0，则称K为矩阵的秩。

向量组的秩定义为向量组中极大线性无关组所含向量的数目。接下来介绍三个定理：1，矩阵A的行列式不为0的条件是A的行或列向量线性无关；2，线性无关的向量组，即使添加向量后，仍保持线性无关；3，r个n维列向量组若线性无关，那么这些列向量组构成的矩阵至少存在一个r阶子式不为0。

简略证明过程开始。我将证明“矩阵的秩等于其列向量组的秩”。假设某n阶矩阵的秩为r，其列向量组的秩为s。我们的目标是证明r等于s。

从一方面来说，矩阵的秩为r，意味着存在K阶子式不为0（矩阵秩的定义），且该K阶子式的列向量线性无关（定理1）。因此，该K阶子式所在的矩阵列向量必线性无关（定理2），由此，根据向量组的秩定义，可得r小于或等于s。

另一方面，列向量组的秩为s，根据定理3，必存在一个s阶子式不为0。因此，根据矩阵的秩定义，s小于或等于r。

综合上述两个方面，联立可得r等于s，从而证明了矩阵的秩等于其列向量组的秩。