证明论在数学中的作用是多方面的，它是数学的基础和核心。以下是证明论在数学中的几个主要作用：

确立真理性：证明是确立数学命题真理性的最基本方法。通过逻辑推理和已知的公理、定理，证明可以展示一个命题的正确性或错误性。这是数学研究中最基础的活动，因为只有经过严格证明的结论才能被接受为真实的知识。

构建数学体系：数学是一个严密的逻辑体系，每一个定理、引理和命题都是通过证明相互联系的。证明不仅展示了单个命题的真实性，而且还将不同的数学概念、方法和结果联系起来，形成一个有机的整体。这种体系的构建使得数学知识具有了系统性和结构性。

推动数学发展：证明过程中常常需要发明新的概念、方法和工具，这些创新往往推动了数学的发展。例如，为了证明某个难题，数学家可能会引入新的数学对象或改进现有的理论，从而拓展了数学的研究范围。

培养逻辑思维：证明训练了数学家的逻辑思维能力。在证明过程中，数学家必须严谨地分析问题，明确概念，合理运用推理规则，这有助于提高思维的准确性和条理性。

解决问题：证明是解决数学问题的关键步骤。在实际应用中，无论是物理、工程还是经济领域的问题，都需要用到数学工具来建模和求解。而这些问题的解决方案往往需要通过证明来确定其有效性和正确性。

交流和传播知识：证明提供了一种标准化的方法来交流数学思想。通过书面形式呈现的证明可以被其他数学家检验和理解，从而促进了知识的交流和传播。

教育意义：在数学教育中，证明是培养学生批判性思维和创新能力的重要手段。通过学习证明过程，学生不仅能够理解和掌握数学知识，还能够学会如何提出问题、如何解决问题。

哲学意义：证明还涉及到数学哲学的讨论，如数学基础的研究、数学对象的实在性等问题。证明论在这些领域中也扮演着重要角色，比如哥德尔不完备性定理就是关于形式系统证明能力的深刻结论。

总之，证明论在数学中的作用是不可或缺的，它不仅是验证数学真理的工具，也是数学知识体系构建和发展的基石，同时对于数学教育、逻辑思维训练以及数学哲学的研究都有着重要的影响。