罗尔定理的证明主要基于闭区间内连续函数在该区间上存在最大值和最小值这一事实。首先，我们需要了解的是，这些最值必定是区间内的极值。其次，已知函数在开区间(a,b)内可导，若在某点ε处取得极值，则该点处的导数必定为零。

为了更全面地证明罗尔定理，我们分步骤进行。

第一步，考虑到函数f(x)在区间[a,b]内连续，我们能够确定闭区间内存在的最大值M和最小值m。

第二步，如果最大值m等于最小值M，这表示f(x)是一个常数函数。既然开区间(a,b)内函数可导，那么在某个点ε上，ε属于(a,b)，函数值f(ε)必然等于常数值，因此导数f’(ε)=0。

第三步，当m不等于M时，我们必须进一步分析。因为端点处函数值f(a)=f(b)，所以m和M只能在区间内的一个端点处取值。具体分析如下：

- 如果m等于f(a)=f(b)，且M在区间内取值，则存在ε属于(a,b)，使得f’(ε)=0。

- 相似地，如果M等于f(a)=f(b)，且m在区间内取值，则同样存在ε属于(a,b)，使得f’(ε)=0。

第四步，综合上述分析，若满足罗尔定理的三个条件：闭区间内连续，开区间内可导，以及端点处函数值相等，则必定存在ε属于(a,b)，使得该点的导数f’(ε)=0。