在数学领域，特别是线性代数中，区间和矩阵的概念是非常重要的。对于任意一个区间，通常我们使用大写字母 I 来表示。比如，当我们提到区间 (10, 20)，我们表示的是所有位于10和20之间但不包含10和20的实数。另一方面，如果表示的是闭区间，比如 [10, 20]，则表示所有位于10和20之间的实数，同时也包括10和20。这是区间的一个基本定义。

在讨论矩阵时，有几个重要定理是必须了解的。首先是每一个线性空间都存在一个基，这意味着每个空间可以通过有限个向量的线性组合来表示。接下来，对于一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，若存在一个矩阵 B 使得 AB = BA = E，其中 E 是单位矩阵，则矩阵 A 被称为非奇异矩阵（或可逆矩阵），而 B 则是 A 的逆矩阵。

矩阵的非奇异（可逆）性质与它的行列式密切相关。矩阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。此外，矩阵非奇异的另一个条件是它所代表的线性变换是一个自同构，这意味着它在保持向量空间结构的同时进行变换。

在讨论矩阵的正定性和半正定性时，我们关注的是矩阵的特征值。矩阵半正定时，所有特征值都大于或等于零。而当所有特征值都严格大于零时，我们称该矩阵为正定矩阵。

在解决线性方程组时，克拉默法则提供了一种有效的方法。通过这个法则，我们可以直接计算出线性方程组的解，而不需要进行复杂的代数操作。此外，通过分析增广矩阵和系数矩阵之间的关系，我们可以判断线性方程组是否有非零实根。

这些定理和概念构成了线性代数的基础，对于理解和应用更复杂的数学问题至关重要。