高等数学中，函数的连续性和间断点是基础但重要的概念。理解函数连续性的概念，包含左连续与右连续，能够帮助我们判断函数在某点是否连续，这在考研数学中是基本要求。

连续性意味着在某点的左极限、右极限与函数值相等。第一类间断点有可去间断点和跳跃间断点。可去间断点两侧极限相等，但不等于函数值；跳跃间断点则是两侧极限不等。而第二类间断点包括无穷间断点和振荡间断点，其中无穷间断点一侧或两侧极限趋向无穷，而振荡间断点一侧或两侧极限不存在。

在近12年的考研数学考试中，连续和间断点问题的考察频次相对较高。连续问题主要出现在简答题中，考察的是通过计算未知数的值来证明函数在某点连续。间断点问题则以选择题形式出现，考查识别函数在定义域内的间断点。

连续和间断点的判断需要综合分析函数在不同点的极限情况，以及函数在定义域内的性质。对于连续，重点是左右极限与函数值的相等性；对于间断点，需关注函数的定义域、无定义点和极限情况。

举例来说，遇到分段函数的连续性问题，只需在分段点处判断左右极限是否等于函数值即可。对于间断点，可以先找出函数无定义的点，然后分别求出每个点的左右极限，判断是否符合间断点的定义。

在实际应用中，连续性和间断点的概念常常与其他数学概念相结合，如原函数的最值与介值定理，以及可导与连续的关系。

此外，对于考研数学的系统学习，可以参考专门的课程或资源，如公众号“小崔说数”，提供详细的讲解视频和课程介绍，帮助学生更好地掌握考研数学知识点。