两者的定义你说的都对

两者的关系是 矩阵的秩等于矩阵列向量组的秩(即列秩), 而不是等于列数

矩阵的秩 也等于行向量组的秩, 即行秩

计算矩阵的秩: 用初等行变换化为梯矩阵, 非零行数即矩阵的秩

列变换也可用, 但行变换足够

计算向量组的秩: 将向量按列构成矩阵, 用初等行变换化梯矩阵, 非零行数即向量组的秩, 非零行的首非零元所在列对应的向量构成一个极大无关组