多元变量微积分中存在一类问题，即计算[公式]，其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线。

要解答这类题目，首先需要取出奇点，设L所围区域为D，分[公式]与[公式]两类情况讨论。

首先验证外部的路径无关性，令[公式]，[公式]，则当[公式]时，[公式]。

当[公式]时，由Green公式易知[公式]。

当[公式]时，选取适当小的[公式]，在D内作圆周[公式]. 记[公式]和[公式]所围成的闭区域为[公式]. 对该复连通区域[公式]应用格林公式：

[公式]

注意[公式]的方向取了逆时针，故[公式]。

综上[公式]。

以上计算表明这种形式的曲线积分仅取决于闭合曲线上L内部是否包含奇点，而与外部积分路径L的具体形状或大小无关。对于上面不包含原点的情况，利用格林公式发现该曲线积分与路径无关，沿环路的积分为0。对于下面包含原点的情况，计算时挖去中间含原点的区间。这样的积分结果便不是0而是2pi了，无论路径如何，其积分结果都为恒量[公式]。

简洁直接优美是物理永恒追求的目标，而所谓守恒是其中一种很有意义的性质。这里0和[公式]的恒量和积分结果与环路形状无关的每妙性质不禁驱动我去思考这样形式的积分在物理上的对应。容易想到闭合曲线积分为0，积分与路径无关的性质可以对应到保守场的性质。然而粗想后者却很难找到对应。

进一步思考，回顾数学中出现后者情况的原因在于Green公式的条件：要求二元函数[公式]和[公式]在D上具有一阶连续偏导数，那么就要求二者在D内的任意一点都要有定义。这里原点(0,0)显然就是这里没有定义的奇点，因此利用“挖洞”的方法构造一新的不包含奇点的复连通区域求积分。所以关键在于找到一个中间有奇点且对一个物理量的环路积分为定值的物理场。

脑中突现——磁场！仔细观察磁场中的安培环路定理，恰对应了我们所需要的形式。以一无限长载有恒定电流的直导线为例，可表达为[公式]。

若环路不包含该载流直导线，该曲线积分为0；若该环路包含载流直导线，该曲线积分的结果为恒量[公式]。

那么我们将磁场中一点的磁感应强度写成向量分解的形式，便能得到和高数中对应的形式。

首先利用毕奥-萨伐尔定律(Biot-Savart Law)[公式]，可以写出磁场中一某点P的磁感应强度，其中电流方向与[公式]的绕向成右手螺旋关系[公式]。

接着在直角坐标系中对[公式]作向量分解[公式][公式]，那么[公式]可表达为[公式]。

对应的曲线积分为[公式]。

惊喜发现，经过简单构造，磁场中的曲线积分包含了上面高数曲线积分的表达式！[公式]。

再根据磁场的叠加原理，有若干闭合恒定电流存在时，沿任意闭合曲线的环路积分为[公式]。

这便是磁场中的安培环路定理！

更进一步进行思考，会发现更有意义的事情在于，可以引申出使用Green公式部分证明安倍环路定理的想法。