级数是由数列项依次通过加号连接而成的函数形式。例如：

这种由多个项相加的格式就是级数。

对于函数来说，它可能呈现如下形式：

在工程领域，我们经常会遇到各种各样的周期性波形。这些波形很难用一个函数准确表达，或者有时原函数无法很好地帮助我们分析波的特征。

因此，我们需要找到另一个函数 \( a(t) \) 来近似原函数 \( f(t) \)，并且这个 \( a(t) \) 需要具备良好的分析特性。

法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦和余弦函数构成的无穷级数来表示。

让我们通过一个动图来更好地理解这个概念。

右边的波形实际上是由左边几个基础波形（三角函数）组合而成的。

下面是傅里叶级数的数学公式。原函数 \( f(t) \) 由无数个 \( \sin(k\omega t + \phi) \) 和 \( \cos(k\omega t + \phi) \) 组成。这个公式很简单，其中 \( \phi \) 是相位偏移，可以理解为 \( a(t) \) 的偏移量。

每个三角函数前面都有一个系数 \( a_k \) 和 \( b_k \)，分别代表振幅和相位。\( \omega \) 代表频率，即波的周期。

那么，\( \omega \) 代表频率，\( k \) 又代表着什么呢？\( k \) 实际上是函数 \( f(t) \) 的周期，\( \omega \) 的作用是构建一个周期为 \( \frac{2\pi}{|\omega|} \) 的波形。随着 \( k \) 的增大，波的频率也随之增高。例如，\( \sin(\omega t) \) 和 \( \cos(\omega t) \) 都是周期为 \( \frac{2\pi}{\omega} \) 的函数，只是 \( k \) 的最小周期不再是 \( 1 \)，因此频率增加了。

请注意，傅里叶级数是针对周期函数的，对于非周期函数则适用傅里叶变换。

许多博主在解释傅里叶级数时，会直接提到时域、频域、复频域和欧拉公式。但实际上，这些都是在不同场景下的不同表现形式，其本质是相同的。理解了上面的基础公式后，以此为基础进行扩展会更加容易理解。

我们的目标是找到一个函数 \( a(t) \) 来近似原函数 \( f(t) \)，其形式如下：

我们只需要求解 \( a(t) \) 就可以得到 \( a(t) \)。

为了求解 \( a(t) \)，我们需要考虑以下波形：

虽然我们不知道原函数 \( f(t) \) 的具体形式，但我们知道 \( f(t) \) 在每个 \( x \) 点的取值，因为我们自己进行了采样。

因此，求解 \( a_k \) 和 \( b_k \) 的最简单方法是构建 \( n \) 个方程，然后解一个 \( n \) 元一次方程组。

然而，这只是一个简化的例子，不应被当作真实情况。

在介绍傅里叶级数的解法之前，我们先考虑周期为 \( T \) 的傅里叶级数，并设 \( T = 2\pi \)。

傅里叶级数的解如下：

为了求解这些解，我们需要先了解三角函数的正交性。理解三角函数正交性的最佳起点是考虑周期为 \( T \) 的函数。

正交性在数学中指的是两个向量垂直的概念，例如：

在函数中，正交性表现为积分的形式：

其中 \( \ integrate{f(t)}{T} \) 表示 \( f(t) \) 与自身的内积，当这个值为零时，说明两个函数在 \( [0, T] \) 区间内正交。

回到傅里叶级数，下面是所有三角函数集合：

在傅里叶级数中，任意两个三角函数在特定条件下在 \( [0, T] \) 区间内是正交的，具体如下：

关于这一性质的证明网上有很多，这里就不详细说明了。

利用这一性质，我们可以将原函数 \( f(t) \) 分解为多个正交三角函数的和。

首先，我们将 \( f(t) \) 两边同时积分，并将 \( T \) 移到前面：

其中 \( \ integrate{f(t)}{T} \) 可以看作 \( f(t) \) 的 \( T \) 倍，根据前面的正交性，这两项都等于零，因此上面的函数就等于：

接下来，将两边乘以 \( \sin(k\omega t) \)，然后两边同时积分并将 \( T \) 移到前面。同样根据正交性，这两项等于零。而 \( \sin(k\omega t) \) 只有 \( k = 0 \) 的项不为零，其他项都会为零，因此：

对于 \( \cos(k\omega t) \) 的求解过程与 \( \sin(k\omega t) \) 相同，这里就不详细说明了。

以上便是傅里叶级数的求解过程，但这里我们定义的频率是 \( k\omega \)。

如何将傅里叶级数扩展到任意周期，以及傅里叶变换，将在后续的文章中详细介绍。希望以上内容能对您有所帮助。