函数极限的性质：

1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等；

2、有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列一定有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列1，－1，1，－1，……（－1)n+1。

3、和实数运算的相容性：譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列 {xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。

4、与子列的关系：数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。

几何意义：

1、在区间（a-ε，a+ε）之外至多只有N个（有限个）点。

2、所有其他的点xN+1，xN+2，（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。

换句话说，如果只知道区间（a-ε，a+ε）之内有{xn}的无数项，不能保证（a-ε，a+ε）之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。