泛函（Functional）是数学中的一个概念，它把函数作为变量并对其进行运算。泛函分析是研究泛函性质的数学分支，与微积分和变分法紧密相关。在泛函分析中，寻找泛函的极值问题是一个核心课题，类似于在普通微积分中寻找函数的极值。

判断泛函取极值的条件通常涉及以下几个步骤：

Frèchet导数或Gâteaux导数：类似于普通函数的导数，泛函也有导数的概念。Frèchet导数和Gâteaux导数是泛函导数的两种形式。如果一个泛函在某点取得极值，那么它的导数在该点为零。这是泛函取极值的必要条件。

泛函的变分：变分法是研究泛函极值问题的一种方法。通过计算泛函的一阶变分（类似于函数的微分），可以得到泛函的Euler-Lagrange方程或其它相应的条件。这些方程通常是求解极值问题的出发点。

边界条件和约束：在实际应用中，泛函的极值问题往往伴随着边界条件或约束条件。这些条件必须在求解过程中加以考虑。

二阶导数检验：对于泛函来说，也可以定义二阶导数，并用来判断泛函在某点的二阶导数是否为正（局部最小）或为负（局部最大）。这与普通函数的二阶导数检验类似。

直接方法：在某些情况下，可以通过构造能量泛函并使用能量方法来直接证明泛函的极小值。这种方法不需要显式地求解Euler-Lagrange方程，而是通过分析泛函的能量性质来得出结论。

泛函极值的存在性：在具体问题中，还需要证明泛函极值的存在性。这通常涉及到紧性、弱收敛等概念，以确保存在极值而不是无穷大或无穷小。

数值方法：对于复杂的泛函极值问题，可能需要使用数值方法来近似求解。例如，有限元素法、有限差分法等。

总结来说，判断泛函取极值的条件需要综合考虑泛函的导数、变分、边界条件、二阶导数检验、直接方法和数值方法等多种工具。这些工具在不同的问题背景下有不同的适用性和有效性。在实际操作中，通常需要结合具体问题的特点来选择合适的方法进行求解。