柯西中值定理在微积分学中占据着重要地位。该定理指出，如果函数f(x)及F(x)满足以下条件：在闭区间[a，b]上连续；在开区间(a，b)内可导；对任一x∈(a，b)，F'(x)≠0，那么在(a，b)内至少存在一点ζ，使得等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ζ)/F'(ζ)成立。

柯西不仅证明了微积分学的基本定理，还对牛顿－莱布尼茨公式进行了简洁而严谨的证明。他通过定积分的严格证明，展示了带余项的泰勒公式的正确性，进一步加深了对微积分理论的理解。此外，柯西还利用微分与积分的中值定理，巧妙地表示了曲边梯形的面积，推导出了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的精确计算公式。

柯西的工作不仅丰富了微积分学的理论体系，还为后人研究微积分提供了坚实的理论基础。他提出的定理和公式，至今仍是数学研究中的重要工具，其严谨的证明方法和深刻的数学洞察力，为后世数学家所推崇。

柯西通过对微积分学的深入研究，不仅证明了基本定理，还探索了积分与微分之间的关系，为微积分学的发展做出了卓越贡献。他的工作为微积分学的理论体系奠定了坚实的基础，也为后来的数学家们提供了丰富的研究素材。

柯西的证明方法不仅严谨，而且富有启发性。他通过巧妙地构造辅助函数，利用中值定理，证明了微积分学中的重要结论。这种证明方法不仅展示了微积分学的内在联系，还为后人研究微积分学提供了新的思路。