证明过程：

x=x0点的导数：lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）

若函数在x0点可导，极限必须存在，设极限为a

即lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）=a

f（x）-f（x0）=（x-x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）

所以lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]=lim（x→x0）（x-x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）

=lim（x→x0）（x-x0）*lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）=0*A=0

而lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]=lim（x→x0）f（x）-lim（x→x0）f（x0）

因为f（x0）是常数，所以lim（x→x0）f（x0）=f（x0）

所以lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]=lim（x→x0）f（x）-f（x0）=0

lim（x→x0）f（x）=f（x0），所以连续。

函数可导的条件：

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。

函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。

可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

在微积分学中,一个实变量函数是可导函数，若其在定义域中每一点导数存在。直观上说，函数图像在其定义域每一点处是相对平滑的，不包含任何尖点、断点。

扩展资料：

实值连续函数：

最基本也是最常见的连续函数是定义域为实数集的某个子集、取值也是实数的连续函数。例如前面提到的花的高度，就是属于这一类型。

这类函数的连续性可以用直角坐标系中的图像来表示。一个这样的函数是连续的，如果粗略地说，它的图像为一个单一的不破的曲线，并且没有间断、跳跃或无限逼近的振荡。

严格来说，设f是一个从实数集的子集I包含于R射到J包含于R的函数f:I指向J。f 在I 中的某个点 c处是连续的当且仅当以下的两个条件满足：

1. f在点 c上有定义。

2. c是 I中的一个聚点，并且无论自变量 x在 I中以什么方式接近 c，f(x) 的极限都存在且等于 f(c)。

我们称函数到处连续或处处连续，或者简单的称为连续，如果它在其定义域中的任意一点处都连续。

更一般地，当一个函数在定义域中的某个子集的每一点处都连续时，就说这个函数在这个子集上是连续的。等于函数值，所以在x0点处连续。

参考资料：百度百科-连续