解法一：

sin⁶x+cos⁶x

=(sin²x+cos²x)(sin⁴x-sin²xcos²x+cos⁴x) (立方和公式)

=1·[(sin²x+cos²x)²-3sin²xcos²x]

=1²-3sin²xcos²x

=1-¾(4sin²xcos²x)

=1-¾sin²(2x)

=1-⅜[1-cos(4x)]

=⅜cos(4x)+⅝

解法二：

sin⁶x+cos⁶x

=(sin²x+cos²x)³-3sin⁴xcos²x-3sin²xcos⁴x (利用完全立方公式，进行配凑)

=1-3sin²xcos²x(sin²x+cos²x)

=1-¾·(4sin²xcos²x)·1

=1-¾sin²(2x)

=1-⅜[1-cos(4x)]

=⅜cos(4x)+⅝

总结：

1、三角函数的化简，其实质就是降幂、整合的过程。

2、以上运用了两种不同的方法进行化简，解法一直接运用完全立方公式，解法二利用立方和公式进行配凑。方法不同，过程不同，结果是一样的。

3、用到公式：

立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)

完全立方公式：(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

二倍角公式：

sin(2α)=2sinαcosα

2sin²α=1-cos(2α)

4、特别说明：本题用到的公式较多，要注意对公式的熟练掌握。