1、利用梅涅劳斯定理的逆定理

例1、如图1，圆内接ΔABC为不等边三角形，过点A、B、C分别作圆的切线依次交直线BC、CA、AB于 、 、 ，求证： 、 、 三点共线。

解：记 ，易知

又易证 .则 .

同理 .故 .

由梅涅劳斯定理的逆定理，知 、 、 三点共线。

2、利用四点共圆（在圆内，主要由角相等或互补得到共线）

例2 、如图，以锐角ΔABC的一边BC为直径作⊙O，过点A作⊙O的两条切线，切点为M、N，点H是ΔABC的垂心.求证：M、H、N三点共线。(96中国奥数)

证明：射线AH交BC于D，显然AD为高。

记AB与⊙O的交点为E，易知C、H、E三点共线。

联结OM、ON、DM、DN、MH、NH，

易知 ，

∴A、M、O、D、N五点共圆，更有A、M、D、N四点共圆，

此时，

因为 （B、D、H、E四点共圆），

即 ；又 ，所以 ，故

同理， 。

因为 ，所以，M、H、N三点共线。

3、利用面积法

如果 ，点E、F位于直线MN的异侧，则直线MN平分线段EF，即M、N与EF的中点三点共线。

例3、如图，延长凸四边形ABCD的边AB、DC交于点E，延长边AD、BC交于点F，又

M、N、L分别是AC、BD、EF的中点，求证：M、N、L三点共线。

证明：设BC的中点为O，辅助线如图所示，

由 可知，

点O必在 内，此时，

同理， 。

因此 。此时，直线MN平分EF，即M、N、L三点共线。

注：利用梅涅劳斯定理的逆定理也可证明此题。

4、利用同一法

尽管同一法是一种间接证法，但它却是一各很有用的证法，观察例4后，你会感到，同一法在证明三点共线问题时，也有其用武之地。

例4、如图4(a)，凸四边形ABCD的四边皆与⊙O相切，切点分别为P、M、Q、N，设PQ与

MN交于S，证明：A、S、C三点共线。

证明：如图4(b)，令PQ与AC交于 ，

易证 互补。

而 ，则

，

故 。再令MN与AC交于 。同理可得

但 ，所以 。利用合比性质得， 。

因此， ，可断定 与 必重合于点S，故A、S、C三点共线。

注：观察本题图形,显然还可证得B、S、D三点共线；换言之，AC、BD、PQ、MN四线共点。

5、利用位似形的性质

如果 与 是两个位似三角形，点O为位似中心，那么不仅A、 、O；B、 、O；C、 、O分别三点共线，而且 、 的两个对应点与位似中心O也三点共线，位似形的这种性质，对于证明三点共线，颇为有用。

例5、如图, 内部的三个等圆⊙ 、⊙ 、⊙ 两两相交且都经过点P，其中每两个圆都与 的一边相切,已知O、I分别是 的外心、内心，证明：I、P、O三点共线。

证明：联结 、 、 。由已知得

、 、 。

可断定 与 是一对位似三角形，

且易知 的内心I是两者的位似中心。

因为⊙ 、⊙ 、⊙ 为等圆，

即 ,

所以点P是 的外心。又点O是 的外心，故P、O两点是两个位似三角形的对应点，利用位似形的性质，即得I、P、O三点共线。

6、利用反证法

有的几何题利用直接证法很难，而用反证法却能很快达到预期目的。

例6、如图，梯形ABCD中、DC//AB，对形内的三点 、 、 ，如果到四边距离之和皆相等，那么， 、 、 三点共线，试证之。

证明：先看 两点，

设直线 分别交AD、BC于M 、N，

于 ， 于 ，

于 ， 于 。

因为DC//AB，则点 到AB、CD的距离之和等于点 到AB、CD的距离之和。由已知可得 。过点 作AD的平行线、过点 作BC的平行线得交点P（由于AD与BC不平行）。记 交 于G， 交 于H。

观察上式有 。所以， 。

因为 有两条高 ，所以， 是等腰三角形，则 。

故 。

再用反证法证明点 一定在 上：假设点 不在 上，联结 并延长分别交AD、BC于 ，易知点 在MN的异侧；因为点 到AD、BC的距离之和等于点 到AD、BC的距离之和，由上述证明过程知必有 。

事实上，观察图形只能得到 ，矛盾，这说明点 必在 上，即MN上，因此 、 、 三点共线。

7、用塞瓦定量的逆定理

变三点共线为三线共点，利用塞瓦定理的逆定理，在圆内接凸六边形ABCDEF中，若

，则AD、BE、CF三线共点；反之亦然，利用这个结果来证明某些三点共线问题，可立竿见影。

例7、如图7，凸四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC交于点P，作PE、PF切圆于E、F，又AC与BD交于K，证明：E、K、F三点共线。

解：联结AE、ED、CF、FB得凸六边形ABFCDE。

欲证E、K、F三点共线，即AC、BD、EF三线共点，

只须证 。

注意到 。

则 。又PE=PF，

则 。

故 。

因此，AC、BD、EF三线共点，即E、K、F三点共线。