总结函数奇偶性、周期性等相关概念与性质

在函数的世界里，奇偶性、周期性等性质构成了函数多样性的基础。以下是函数奇偶性、周期性的关键概念与性质，以及如何运用这些性质来解决一些典型问题。

奇偶性与导函数关系：

1. 可导的奇函数导函数必为偶函数。

2. 可导的偶函数导函数必为奇函数。

3. 可导的周期函数导函数仍为周期函数，且周期相同。导数的对称性对于证明其性质非常有用。

原函数与奇偶性：

1. 若连续的偶函数，其一个原函数为可导奇函数。

2. 若连续的偶函数，唯一一个原函数为奇函数。

3. 若连续的奇函数，其一个原函数为可导偶函数。

4. 若连续的奇函数，所有原函数均为偶函数。

函数与原函数之间的性质：

1. 若有有限个第一类间断点，则函数连续。

2. 若连续，则一阶可导。

3. 若一阶可导，则二阶可导。

周期函数的原函数：

1. 设连续函数为周期T，则其原函数周期相同。

2. 原函数周期为T，则函数周期为 [公式] 。

解题技巧与例题：

1. **例题一**：判断原函数性质与函数性质之间的关系，选择(A)。

2. **例题二**：识别哪个函数在变换下保持奇偶性，选择(D)。

3. **例题三**：理解奇函数与偶函数的性质，选择(D)。

4. **例题四**：分析周期性、分部积分与保号性，选择(A)。

5. **例题五**：利用可导奇函数的性质，识别原函数为偶函数，进而分析周期性。

6. **例题六**：解析函数形式与周期性，求解与证明特解的周期性。

7. **例题七**：构造辅助函数，利用微积分基本定理与中值定理证明性质。

理解并灵活应用这些概念与性质，可以有效地解决涉及函数奇偶性、周期性的数学问题。余术老师的课程为深入理解和掌握这些性质提供了丰富的实例与指导。