对于一个线性方程组，其基础解系和通解的求解方法是这样的：首先，要确定方程组中的自由变量。自由变量是指在方程组中不受其他等式约束的变量。假设总共有n个变量，其中r个是自由变量，我们可以通过以下步骤找到基础解系和通解：

将方程组的系数矩阵A和常数向量b输入。使用初等行变换将A转化为行最简形式。在行最简形式中，如果某一行的第一个非零元素在列中没有对应的等式约束，那么这个变量就是自由变量。对于每个自由变量，可以将其取值为任意实数（除0外），而将其余的变量用自由变量表示。这个表达式就是基础解系。

所有基础解系的线性组合构成了通解。通过一个具体的例子来说明这个过程。考虑以下线性方程组：

x1+2x2+3x3=6

4x1+5x2+6x3=15

我们将其写成矩阵形式Ax=b，其中A是系数矩阵，b是常数向量：

A=[123;456]

b=[6;15]

首先，我们使用初等行变换将A转化为行最简形式：

通过两行变换，我们得到：

A'=[10-1;012]

b'=[6;9]

在这个形式下，x2和x3是自由变量。我们可以选择x2=1和x3=-2，然后将它们代入原方程组得到基础解系：

x1=3,x2=1,x3=-2

同样地，所有基础解系的线性组合构成了通解：

x1=3t,x2=t,x3=-2t(其中t是任意实数)