当教师资格证书不慎遗失时，持证人应首先向原发证机关报告，并提出补发申请。依据《教师资格证书管理规定》第七条，持证人需在公开发行的报刊上刊登遗失声明，随后向原发证机关提交书面申请。原发证机关会核实持证人档案中的《教师资格认定申请表》等文件后予以补发，并在证书的备注页上注明补发原因及时间。补发的教师资格证书编号将与原编号保持一致。

具体补办步骤如下：首先，下载并填写《教师资格证书补发换发申请表》，提供原件两份，要求贴2寸照片，其中一份由人事处留存，另一份存入个人档案。其次，提供《教师资格认定申请表》的复印件一份，此表需从个人档案中取出。再次，提交本人身份证复印件一份，并附上1寸照片一张，所有照片需为同一底版。最后，需由现单位开具身份证明，并在市级以上报纸上刊登遗失声明，一个月后方可办理补办手续。

在此期间，持证人务必确保所有提交的文件和证明材料真实有效，以避免补办过程中出现不必要的麻烦。同时，补发的证书将作为持证人资格的官方证明，因此必须妥善保管，避免再次遗失。