沈阳市体育局。根据查询沈阳市人民政府官网可知，沈阳体育局办理关于运动方面考证的业务，在沈阳市体育局可以考沈阳游泳教练证。游泳教练负责为会员提供专业高质的全方位健康指导，提供健康评估和科学的健身咨询指导，保证会员在俱乐部内锻炼的安全及有效性，指导会员正确开展游泳活动。