教师第十三个月工资的发放方式包括以下几个步骤：

1. 计算每月的上课天数。

2. 根据上课天数计算底薪。

3. 核算周末补课的工作时长。

4. 核算加班费。值得注意的是，根据国家政策规定，在实行绩效工资后，原年终一次性奖金已取消，不再单独发放。教师第十三个月工资实际上属于事业单位的奖金，是年终奖励，而非普通工资。所有财政全额拨款的事业单位正式编制工作人员都有此奖金。任何机关都不得违反国家规定，自行更改教师的工资、福利、保险政策，擅自提高或降低教师的工资、福利、保险待遇，也不能扣减或拖欠教师的工资。

法律依据包括《教育部关于做好义务教育学校教师绩效考核工作的指导意见》第五条，其中提到绩效考核结果是绩效工资分配的主要依据。对于完成岗位职责和学校规定的教育教学工作任务的教师，应全额发放基础性绩效工资。对于表现突出或有突出贡献的教师，应根据不同情况发放奖励性绩效工资。奖励性绩效工资的分配应根据绩效考核结果，合理确定等次，并向骨干教师和表现突出的教师倾斜，适当拉开分配差距。

此外，《中华人民共和国义务教育法》第三条规定，绩效工资分为基础性和奖励性两部分。基础性绩效工资主要反映地区经济发展水平、物价水平、岗位职责等因素，占绩效工资总量的70%，具体项目和标准由县级以上人民政府人事、财政、教育部门确定，一般按月发放。奖励性绩效工资主要反映工作量和实际贡献等因素，在考核的基础上，由学校确定分配方式和办法。根据实际情况，绩效工资中可设立班主任津贴、岗位津贴、农村学校教师补贴、超课时津贴、教育教学成果奖励等项目。