室内装修设计费用开的是服务发票。

详细解释如下：

1. 服务发票的定义：室内装修设计服务属于服务类业务，因此开具的发票类型为服务发票。这种发票主要用于证明服务提供者已经完成了某项服务，并收取了相应的费用。对于客户而言，服务发票是证明其支付装修设计费用的有效凭证。

2. 室内装修设计属于服务业：在我国经济活动中，室内装修设计被视为一种服务业。因此，当消费者或企业与室内设计师或装修公司进行交易时，对方开具的发票应为服务发票。这类发票上通常会详细列出服务的种类、数量、单价和总价等信息。

3. 发票的重要性：无论是对于个人还是企业，发票都是重要的财务凭证。它不仅证明了交易的合法性，也是报销、记账的重要依据。特别是在涉及装修这样的大额支出时，保存好服务发票对于维护自身权益至关重要。

综上所述，室内装修设计费用开具的是服务发票，这是基于室内装修设计被视为服务业的经济活动属性。对于消费者而言，妥善保管这类发票是非常必要的。