前言19.1 主理想整环上的有限生成自由模

定理 如果 [公式] 是PID环， [公式] 是秩为 [公式] 的自由 [公式] -模，则 [公式] 的子模也是自由 [公式] -模，且秩不大于 [公式] 。证明：对秩利用归纳法。如果[公式] 是零模，结论成立；如果对秩小于 [公式] 的自由 [公式] -模 [公式] 都成立，下面证明秩为 [公式] 的模 [公式] 也成立。不妨设 [公式] 的一组基为 [公式] ，任一子模 [公式] 中的元素都可以表示为 [公式] ，其中 [公式] 。考虑 [公式] 所能取到的集合 [公式] ，这是环 [公式] 的一个理想（考虑子模 [公式] 的性质）。因为 [公式] 是PID环，则 [公式] 也是PID环，不妨设 [公式] ，其中 [公式] 。推论：如果[公式] 是PID环， [公式] 是有限生成模，则 [公式] 的子模也是有限生成模。读者可以自行证明。

接下来给出主理想整环上有限生成自由模的一种等价表述。

挠元素 设 [公式] 是整环， [公式] 是 [公式] -模，对于 [公式] 中的元素 [公式] ，如果存在非零元素 [公式] 使得 [公式] ，则称 [公式] 是挠元素（torsion element）；否则称 [公式] 是自由元素（free element），即任意非零元素 [公式] 都有 [公式] 。一个元素[公式] 自由，等价于 [公式] 本身是 [公式] -线性无关的。而且由 [公式] 生成的子模 [公式] 是秩为 [公式] 的自由模。挠模 设 [公式] 是 [公式] -模，如果 [公式] 中每个元素都是挠元素，则称 [公式] 是挠模（torsion module）；如果 [公式] 中每个非零元素都是自由元素，则称 [公式] 是无挠模（torsion-free module）。定理：设[公式] 是PID环， [公式] 是 [公式] 上的有限生成模，则 [公式] 是自由模当且仅当 [公式] 是无挠模。

设[公式] 是 [公式] 上的有限生成模，如果 [公式] 是零模，显然 [公式] 是自由模而且是无挠模；下面设 [公式] 不是零模。

（1）设[公式] 是自由模，一组基是 [公式] 。如果 [公式] 不是无挠模，即存在非零挠元素 [公式] ，使得存在非零元素 [公式] 使得 [公式] 。如果 [公式] ，其中 [公式] ，则 [公式] 。因为 [公式] 是一组基，所以这些系数 [公式] ；而因为 [公式] ，一定存在 [公式] 使得 [公式] 。但 [公式] 是整环，无零因子，说明 [公式] ，矛盾，因此 [公式] 是无挠模。

（2）设[公式] 是无挠模，不妨设 [公式] 是 [公式] 的一组生成元，不失一般性，可以设 [公式] 是这组生成元的 [公式] -极大线性无关组。取 [公式] ， [公式] 显然是自由模。如果 [公式] ，说明这组生成元就是线性无关的，即 [公式] 是自由模。下面设 [公式] ，即存在 [公式] ，其中 [公式] ，这就使得 [公式] 是线性相关的。即存在 [公式] 且 [公式] 使得 [公式] 。设[公式] ，无零因子环上有 [公式] ，容易发现 [公式] 对于 [公式] 成立（对于 [公式] 成立的原因是 [公式] 可以表示为 [公式] 的线性组合）。这就说明 [公式] ，而 [公式] 是秩为 [公式] 的自由模，所以 [公式] 是秩不大于 [公式] 的自由模。考虑同态 [公式] 使得 [公式] ，它显然是满同态；而因为 [公式] 是无挠模，所以有[公式] ，从而 [公式] 是单射，因此是同构。既然 [公式] ，而 [公式] 是自由模，说明 [公式] 也是自由模。

我们已经知道，在主理想整环上，有限生成的自由模就是无挠模。在第一节中，我们也证明了两个基本事实：主理想整环上，有限秩的自由模的子模依然是自由模，有限生成模的子模依然是有限生成模。但大多数情况下，一个有限生成模既不是挠模也不是无挠模。事实上，它的所有挠元素的集合可以构成一个子模。

挠子模 设 [公式] 是整环， [公式] 是 [公式] -模。 [公式] 上所有挠元素的集合构成 [公式] 的子模，称为挠子模（torsion submodule），记作 [公式] 。容易验证。首先[公式] 是挠元素。如果 [公式] 是挠元素，由定义存在非零元素 [公式] 使得 [公式] 和 [公式] ，而 [公式] 无零因子，所以 [公式] ，但 [公式] ，说明 [公式] 是挠元素。对于任意 [公式] ， [公式] ，说明 [公式] 是挠元素，这就验证了挠元素构成子模。

定理：设[公式] 是PID环， [公式] 是 [公式] 上的有限生成模，则 [公式] 是自由模。容易证明。不妨设[公式] 的一个元素 [公式] ，如果它是挠元素，说明存在非零元素 [公式] 使得 [公式] ，即 [公式] ，说明存在非零元素 [公式] 使得 [公式] ，但 [公式] ，这说明 [公式] ，但这与 [公式] 矛盾。所以 [公式] 上没有非零挠元素，它是无挠模，从而是自由模。

定理：设[公式] 是PID环， [公式] 是 [公式] 上的有限生成模，则 [公式] 可以分解为一个挠子模和一个自由子模的直和。

证明：已知[公式] 是自由模，不妨设它的一组基为 [公式] ，其中 [公式] 。显然 [公式] 也是线性无关的。容易证明 [公式] 是自由模，一组基就是 [公式] 。下面证明[公式] 。对于 [公式] ，记 [公式] ，则一定存在 [公式] 使得 [公式] 。令 [公式] ，显然 [公式] ，即 [公式] ，从而 [公式] ，故 [公式] 。显然 [公式] ，故 [公式] 。再证明[公式] ，只要证 [公式] ，不妨设 [公式] ，即 [公式] ，而且存在非零元素 [公式] 使得 [公式] ，从而 [公式] ，但 [公式] ，只能是所有的 [公式] ，从而 [公式] ，证毕。

对于一个PID环上的有限生成模[公式] ，自由子模 [公式] 是唯一确定的，称为 [公式] 的秩（rank），记作 [公式] 。本节初步将有限生成模分解为挠子模和自由子模的直和，接下来的问题归结于如何分解有限生成挠模。

后记：本篇内容首先将PID上的有限生成模分解为了挠模和自由模的直和，下一篇中将继续介绍分解过程，并得到有限生成模的结构定理。本篇中的证明较为简单，学过线性代数的读者应当对证明中所用到的技巧较为熟悉。