教师资格证不慎丢失，需由持证人向原先颁发该证书的教育机构提出补发请求。补办流程首先要求持证人在当地媒体上发布声明，明确表示原有证书已作废，以防他人冒领。

发布声明后，持证人应准备一份申请补办的书面说明，详细描述证书遗失情况及补办原因。同时，还需携带一份补发申请表的复印件，以及上述声明的复印件，前往原颁发机构提交补办申请。

在提交申请时，持证人应确保所有材料齐全且符合要求，以便机构能顺利审核。审核通过后，教育机构将根据原证书信息补发新的教师资格证。

值得注意的是，补办过程中，持证人需保持耐心，因为整个流程可能需要一定时间。此外，不同地区的教育机构在处理此类事务时，具体要求可能有所差异，因此建议事先与相关机构进行沟通，了解具体的操作流程和所需材料。

为了确保补办顺利进行，持证人还可以提前准备相关的身份证明文件，如身份证、户口簿等，以备不时之需。整个补办过程虽然繁琐，但只要按部就班地完成每一步骤，最终还是能够顺利获得新的教师资格证书。

如果在补办过程中遇到任何问题，持证人可以随时联系教育机构，询问具体情况。同时，也可以通过官方渠道获取最新的补办指南和相关信息，以确保补办过程的顺利进行。