消费者均衡是经济学中的一个概念，指的是消费者在有限的收入和价格条件下，通过消费不同商品组合来达到最大满足程度的状态。

1. 无约束的消费者均衡

在无约束的情况下，消费者效用最大化的条件是边际效用与价格成反比。具体来说，如果消费者只消费一种商品，那么边际效用递减，即消费者对每额外消费一单位商品的满足程度逐渐减少。当边际效用与商品价格相等时，消费者达到效用最大化。

2. 有约束的消费者均衡

在有约束的情况下，消费者的均衡取决于固定的偏好、收入以及商品价格。消费者需要在这些约束下寻找最优的商品组合。

- 边际效用均等法则

最优的消费配置是使每种商品的边际效用相等。如果边际效用不相等，消费者可以通过调整消费量来提高总效用。

- 边际效用均等法则的数学分析

消费者的效用最大化问题可以表示为：

\[ \max U(X, Y, Z) \]

\[ \text{s.t. } M = P_X X + P_Y Y + P_Z Z \]

其中，\( M \) 是消费者的总收入，\( P_X \)、\( P_Y \)、\( P_Z \) 分别是商品X、Y、Z的价格，\( X \)、\( Y \)、\( Z \) 是消费者购买的商品数量。

通过拉格朗日乘数法，可以得到消费者均衡的条件：

\[ \frac{\partial L}{\partial X} = \frac{\partial U}{\partial X} + \lambda (M - P_X X - P_Y Y - P_Z Z) = 0 \]

\[ \frac{\partial L}{\partial Y} = \frac{\partial U}{\partial Y} + \lambda (M - P_X X - P_Y Y - P_Z Z) = 0 \]

\[ \frac{\partial L}{\partial Z} = \frac{\partial U}{\partial Z} + \lambda (M - P_X X - P_Y Y - P_Z Z) = 0 \]

\[ M = P_X X + P_Y Y + P_Z Z \]

其中，\( L \) 是拉格朗日函数，\( \lambda \) 是拉格朗日乘数。

通过求解上述方程组，可以得到消费者均衡时的商品消费量。

例如，一个消费者有120元，X商品价格为4元，Y商品价格为2元，效用函数为 \( U(X, Y) = X + 2Y \)。求消费者如何分配120元以获得最大效用。

解：根据消费者均衡条件，我们有：

\[ MU_X / MU_Y = P_X / P_Y \]

\[ \frac{1}{1} = \frac{4}{2} \]

因此，消费者应该购买相同数量的X和Y商品。

设 \( X = Y \)，则有：

\[ 4X + 2X = 120 \]

\[ X = Y = 15 \]

消费者应购买15单位的X和15单位的Y，以达到最大效用。