最早提倡和推进志愿服务的机构可以追溯到19世纪末和20世纪初的一些社会组织和慈善机构。

其中，国际红十字会是一个显著的例子。成立于1863年的国际红十字会，最初是为了响应战争中的人道主义需求，提供医疗援助和救援服务。随着其使命的扩展，红十字会开始倡导并推动志愿服务，特别是在灾难响应、社区发展和健康教育等领域。红十字会的志愿者们在全球范围内提供了大量的无私帮助，成为推动志愿服务文化的重要力量。

除了国际红十字会，还有一些国家内部的机构也在早期对志愿服务进行了积极的推广。例如，在美国，社区服务组织如“美国志愿者协会”等，致力于鼓励和支持公民参与社区服务，通过志愿服务来强化社区凝聚力和解决社会问题。这些机构通过提供志愿服务的机会，让更多的人意识到个人行动对社会变革的积极影响。

此外，联合国志愿者组织也是一个在全球范围内推广志愿服务的重要机构。它成立于1970年，旨在通过志愿服务促进国际合作与发展。UNV为志愿者们提供了参与各种国际项目的机会，从环境保护到人权倡导，从教育支持到灾后重建，涵盖了广泛的领域。通过这些项目，UNV不仅促进了全球范围内的志愿服务交流，还提高了公众对全球问题的认识和参与度。

综上所述，最早提倡和推进志愿服务的机构包括国际红十字会、国内社区服务组织如美国志愿者协会，以及联合国志愿者组织等。这些机构通过不同的方式和项目，在全球范围内推动了志愿服务文化的发展，使更多的人能够参与到这一有意义的事业中来。