在计算物理基础的第五章中，我们深入探讨了常微分方程的求解方法。首当其冲的是龙格-库塔法（R-K），这是一种通过多点斜率加权平均提高精度的策略。其基本原理是，通过预报法处理未知的平均斜率，例如，对于二阶龙格-库塔公式，通过与泰勒展开式对比，确定[公式] 的值。

变步长的龙格-库塔法通过调整步长来优化计算，虽然每一步的计算量看似增加，但通过减小误差，总体上提高了效率。解常微分方程时，编程指令如ode45和ode113起着关键作用，它们依据方程类型和精度需求进行选择。对于刚性方程，步长选择的要求与非刚性方程有所不同。

以ode45为例，其语法格式包括参数设置，如初始条件和求解策略。例如，解方程[公式] 和初始条件[公式]，通过将其转换为一阶方程组，我们可以利用ode45指令在主程序中进行求解。此外，还可以使用子函数文件进行复杂函数的处理，确保函数和变量顺序的一致性。

应用实例中，洛伦兹方程展现了混沌理论中的"蝴蝶效应"，通过事件（events）功能，我们可以解决已知初值和特定函数值对应的时间问题，如小球下落问题。对于效率问题，如火柴燃烧模型，需谨慎处理刚性问题，确保计算的精度和效率平衡。

二阶常微分方程的边值问题涉及猜测边界条件并进行修正或打靶法求解。本征值问题则通过打靶法寻找特定参数下的解，如弦振动的本征值方程。最后，bvp4c和bvp5c工具被用于处理二阶常微分方程的边界值问题和本征值问题。