解：

(1)、抛物线的对称轴方程为x=3/2

(2)、由于抛物线过原点，所以可设抛物线的方程为y=ax²+bx

将A(3,0)，代入抛物线方程得：0=9a+3b，即b=-3a————①

当x=3/2时，y=(3/2)²a+(3/2)b

当x=3+(3/2)=9/2时，y=(9/2)²a+(9/2)b

所以：-[(3/2)²a+(3/2)b]+(9/2)²a+(9/2)b=4.5

化简为：12a+2b=3 ————————————————②

解①和②组成的方程组得：a=1/2 , b=-3/2

所以：抛物线的方程为y=(1/2)x²-(3/2)x

(3)、存在。

连接OC，与抛物线对称轴的交点就是D点。此时△BCD的周长就是线段OC和线段AC的长度之和。