设梯形ABCD，A，B是上底端点，C,D是下底端点。对角线AC垂直于BD。

过B做AC的平行线，与下底DC的延长线交于E。因为AB平行于CE，AC平行于AC，所以ABEC是平行四边形，可得AC=BE,AB=CE。

因为AC垂直于BD,AC平行于BE。所以BE垂直于BD,三角形BDE是直角三角形。

根据勾股定理，(AB+DC)^2=(CE+DC)^2=DC^2=BD^2+BE^2=BD^2+AC^2

即上下底之和的平方等于对角线的平方和。

反推也成立，如果上下底之和的平方等于对角线的平方和，那么梯形对角线一定垂直。

这是梯形两对角线垂直的充要条件。