判断函数是否有界，就是要看是否存在一个正数M，使得函数的绝对值总是小于或等于这个M。如果是，那么函数就是有界的，否则就是无界的。

明确有界函数的定义。设函数f（x）的定义域为D，数集X包含于D。如果存在数K1，使得f（x）≤K1对任一x∈X都成立，则称函数f（x）在X上有上界，而K1称为函数f（x）在X上的一个上界。

如果存在数K2，使得K2≤f（x）对任一x∈X都成立，则称函数f（x）在X上有下界，而K2称为函数f（x）在X上的一个下界。如果存在正数M，使得|f（x）|≤M对任一x∈X都成立，则称函数在X上有界。如果这样的M不存在，就称函数f（x）在X上无界。

函数是否有界的应用场景：

1、数学分析：在数学分析中，函数的有界性是研究函数性质的重要方面。对于有界函数，我们可以更方便地进行极限、导数和积分等运算，进而研究函数的性态和图像。例如，在研究函数的收敛性时，通常需要判断函数是否有界，以确定级数或积分的收敛性。

2、优化问题：在优化问题中，目标函数的有界性对于确定最优解的存在性和搜索算法的收敛性具有重要意义。如果目标函数是有界的，那么我们就可以保证存在一个最优解，并且可以通过一定的搜索算法找到它。例如，在线性规划、整数规划等优化问题中，通常需要判断目标函数是否有界，以确定问题的可行性和最优解的存在性。

3、数值计算：在数值计算中，函数的有界性对于控制计算误差和保证计算稳定性具有重要作用。如果函数是有界的，那么我们就可以通过控制计算步长和迭代次数等手段，来保证计算的精度和稳定性。例如，在进行数值积分、数值求解微分方程等数值计算问题时，通常需要判断函数是否有界，以确定计算方法的可行性和计算结果的准确性。

4、物理和工程问题：在物理和工程问题中，函数的有界性也具有重要的应用价值。例如，在研究电路、流体动力学、热力学等物理问题时，通常需要判断相关函数是否有界，以确定物理系统的稳定性和行为的可行性。