我们先来看一个例子：

计算平面向量场[公式] 沿矩形 [公式] 的边界 [公式] 的环量，方向为逆时针方向。

分段积分：[公式] 其中 [公式] 同理 [公式] 则，我们有 [公式]

我们得到了个简洁优美的等式，我们看这是好的，试图把这个结果推而广之。

我们已经知道了，对于矩形区域，有这个结论，并且想把它推广至任意平面闭区域[公式] 。

首先，我们把区域[公式] 分割为许多没有公共内点的小块，包括两种 曲边梯形（在单变量微积分中，我们就和它很熟悉了），取向都是逆时针。

对于相邻小块，公共边界部分被计算了两次，但方向相反，因此相互抵消，故只需考虑整体的边界。

设 “曲边矩形”[公式] 是这样的区域, 它是由两条直线 [公式] 上的某一段 ( 也有可能退化成一点 ) 以及两条光滑曲线 [公式] 围成的区域

[公式]

则

[公式]

上式的证明与对矩形区域的证明相仿, 把[公式] 分成四段:

[公式]

在[公式] 上, [公式] , 在 [公式] 上分别有

[公式]

两式相加即可得到结果. 同理, 在另一种 “曲边矩形”

[公式] 上, 可证得类似结果

[公式] 相加，即可证明：

设[公式] 是有限条逐段光滑的封闭曲线 [公式] 围成的平面闭区域( 因 此 [公式] 是 [公式] 上光滑向量场, 则

[公式]

其中曲线积分的方向为[公式] 的逆时针方向.上述公式称之为 Green 公式.