圆的面积公式是πr²。这个公式可以通过以下三种方法进行推导：

1. 通过实际操作，我们可以用圆规在纸上画一个圆，然后剪下来。将圆折叠使其中心重合，形成一个半圆。由于半圆的面积是整个圆面积的一半，我们可以得出半圆的面积公式为S半圆 = 1/2πr²。因此，整个圆的面积公式就是S圆 = πr²。

2. 另一种推导方法是利用矩形的面积。将一个圆按照一定比例放大，直到其直径与矩形的宽度相等。此时，圆的半径就等于矩形的长度。将矩形分割成许多小矩形，这些小矩形的总面积就是圆的面积。将这些小矩形组合起来，形成一个大的矩形，其面积即为圆的面积。因为矩形的面积是长度乘以宽度，所以得到圆的面积公式S圆 = πr²。

3. 最后，可以通过微积分的概念来推导圆的面积公式。将圆分割成无数个小矩形，每个小矩形的面积是长乘以宽，即S小矩形 = 长 × 宽。将这些小矩形的面积加起来，得到圆的面积S圆 = Σ(所有小矩形的面积)。由于每个小矩形的长和宽之和等于圆的半径的两倍，我们得到圆的面积公式S圆 = πr²。

在计算圆的面积时，需要注意以下几点：

- 使用正确的单位，如平方米或平方厘米。

- 掌握π的值，通常取π ≈ 3.14。

- 区分半径和直径，确保使用半径进行计算。

- 保留合适的有效数字，通常计算过程中保留2到3位有效数字，根据需要进行四舍五入。